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高考數學平面向量公式

2013-04-27 10:58

來源:互聯網

編輯:新東方小編


定比分點

  定比分點公式(向量P1P=λ?向量PP2)

  設P1、P2是直線上的兩點,P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有

  OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)

  x=(x1+λx2)/(1+λ),

  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)

  我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

  三點共線定理

  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

  三角形重心判斷式

  在△ABC中,若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心

  [編輯本段]向量共線的重要條件

  若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數λ,使a=λb。

  a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。

  [編輯本段]向量垂直的充要條件

  a⊥b的充要條件是 a?b=0。

  a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

  零向量0垂直于任何向量.

  設a=(x,y),b=(x',y')。

  1、向量的加法

  向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x',y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的運算律:

  交換律:a+b=b+a;

  結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

  2、向量的減法

  如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0

  AB-AC=CB. 即“共同起點,指向被減”

  a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

4、數乘向量

  實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

  當λ>0時,λa與a同方向;

  當λ<0時,λa與a反方向;

  當λ=0時,λa=0,方向任意。

  當a=0時,對于任意實數λ,都有λa=0。

  注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

  實數λ叫做向量a的系數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

  當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

  當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

  數與向量的乘法滿足下面的運算律

  結合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

  向量對于數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

  數對于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

  數乘向量的消去律:① 如果實數λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

  3、向量的的數量積

  定義:已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π

  定義:兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a?b。若a、b不共線,則a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共線,則a?b=+-∣a∣∣b∣。

  向量的數量積的坐標表示:a?b=x?x'+y?y'。

  向量的數量積的運算律

  a?b=b?a(交換律);

  (λa)?b=λ(a?b)(關于數乘法的結合律);

  (a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

  向量的數量積的性質

  a?a=|a|的平方。

  a⊥b 〈=〉a?b=0。

  |a?b|≤|a|?|b|。

  向量的數量積與實數運算的主要不同點

  1、向量的數量積不滿足結合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。

  2、向量的數量積不滿足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。

  3、|a?b|≠|a|?|b|

  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

  定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b。若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線,則a×b=0。

  向量的向量積性質:

  ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

  a×a=0。

  a‖b〈=〉a×b=0。

  向量的向量積運算律

  a×b=-b×a;

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

  (a+b)×c=a×c+b×c.

  注:向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

  向量的三角形不等式

  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

  ① 當且僅當a、b反向時,左邊取等號;

  ② 當且僅當a、b同向時,右邊取等號。

  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

  ① 當且僅當a、b同向時,左邊取等號;

  ② 當且僅當a、b反向時,右邊取等號。


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